Matura podstawowa - kurs - część 30 - zadania

Wykres funkcji $f(x)=x^2-2x-8,$ gdzie $x \in \mathbb{R}$, przecina oś $OX$ w punktach $A$ i $B$.

• Wyznacz współrzędne punktów $A$ i $B$.
• Oblicz pole trójkąta $AWB$, jeśli $W$ jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji $f$.

Funkcja kwadratowa $f$ określona jest wzorem $f(x) = ax^2 + bx + c$. Zbiorem rozwiązań nierówności $f(x) \gt 0$ jest przedział $(0,12)$. Największa wartość funkcji $f$ jest równa $9$. Oblicz współczynniki $a$, $b$ i $c$ funkcji $f$.

Rozważmy prostokąt o polu mniejszym od $24$, w którym jeden bok jest od drugiego dłuższy o $5$. Oblicz długość dłuższego boku prostokąta, jeśli jest ona liczbą całkowitą parzystą.

Do napełniania basenu służą dwie pompy. Pierwsza z nich ma wydajność o $20\%$ większą niż druga. Napełnienie pustego basenu tylko drugą pompą trwa o $1$ godzinę i $40$ minut dłużej niż przy użyciu tylko pierwszej pompy. Oblicz, jaką część pustego basenu napełnią w ciągu jednej godziny obie pompy, pracując jednocześnie.

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$. Osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu $x=-3$. Rozwiązaniem nierówności $f(x)\le 0$ jest zbiór

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej $f$ w postaci ogólnej, wiedząc, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział $(-\infty ,-1\rangle$, a wartość $-5$ osiąga ona dla dwóch argumentów: $2$ i $10$.

Na rysunku są przedstawione fragmenty wykresów funkcji kwadratowych $f$ i $g$. Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=-x^2+6x-5$, a mniejsze z jej miejsc zerowych jest jednocześnie miejscem zerowym funkcji $g$. Wierzchołek $W$ paraboli, która jest wykresem funkcji $f$, leży na wykresie funkcji $g$, a wierzchołek $Z$ paraboli będącej wykresem funkcji $g$ leży na osi $Oy$ układu współrzędnych. Wyznacz wzór funkcji $g$.

Wykres funkcji kwadratowej $f$ przecina oś $Ox$ w punktach $x=1$ oraz $x=3$ i przechodzi przez punkt $(0,-3)$. Wykres ten przesunięto i otrzymano wykres funkcji kwadratowej $g(x)=f(x-p)$. Wierzchołek funkcji $g$ leży na osi $Oy$. Wyznacz wzór funkcji $g$.

Parabola, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f(x)=ax^2+bx+c$, przechodzi przez punkt $(-2,10)$ oraz $f(-1)=f(3)=0$. Oblicz odległość wierzchołka paraboli od początku układu współrzędnych.

Funkcja kwadratowa $f$, której miejscami zerowymi są liczby $-2$ i $4$, dla argumentu $1$ przyjmuje wartość $3$. Uzasadnij, że wykres funkcji $f$ ma dwa punkty wspólne z prostą $y=2$.

Wierzchołki trójkąta $ABC$ leżą na paraboli, która jest wykresem pewnej funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Pole trójkąta jest równe $8$, punkt $C=(1,4)$ jest wierzchołkiem paraboli, a punkty $A$ i $B$ leżą na osi $Ox$. Wyznacz wzór funkcji $f$.

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie rysujemy łamane. Kolejne wierzchołki każdej z tych łamanych to punkty: $$A_1=(0,0),\quad A_2=(1,0),\quad A_3=(1,-1),\quad A_4=(-1,-1),\quad A_5=(-1,1),\quad A_6=(2,1)$$ i tak dalej. Na rysunku jest przedstawiona łamana składająca się z dziesięciu odcinków, której ostatnim wierzchołkiem jest punkt $A_{11}=(3,-3)$. Funkcja $f$ przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej $n\ge 1$ długość łamanej złożonej z $2n$ odcinków, czyli takiej, której początkowym wierzchołkiem jest punkt $A_1$, a końcowym $A_{2n+1}$. Wyznacz wzór funkcji $f$ oraz oblicz jej wartość dla $n=33$.