Matura podstawowa - kurs - część 41 - zadania

Kąty ostre $\alpha$ i $\beta$ trójkąta prostokątnego spełniają warunek $\sin^{2} \alpha +\sin^{2}\beta +\operatorname{tg}^{2}\alpha =4$ . Wyznacz miarę kąta $\alpha$.

Wartość wyrażenia $\sin^{2} 23^\circ +\sin^{2} 67^\circ$ jest równa:

Oblicz wartość wyrażenia $\operatorname{tg}^2\alpha -3\cos ^2\alpha$, jeżeli $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ i $\alpha$ jest kątem ostrym.

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha =\frac{1}{4}$. Oblicz $3 + 2\operatorname{tg}^2\alpha$.

Uzasadnij, że jeżeli $\alpha$ jest kątem ostrym, to $\sin^4\alpha + \cos^2\alpha = \sin^2\alpha + \cos^4\alpha$.

W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość $a$. Kąt ostry przy tym boku ma miarę $\alpha$. Wykaż, że $\sin \alpha +\cos \alpha >1$.

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\sin \alpha =\cos 47^\circ$. Wtedy miara kąta $\alpha$ jest równa.

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=2$. Oblicz wartość wyrażenia $\cos \alpha \cdot \sin \alpha$.

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$. Wartość wyrażenia $\cos^2\alpha -2$ jest równa

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$. Oblicz wartość wyrażenia $\sin^2\alpha - 3\cos^2\alpha$.

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$. Wtedy wartość wyrażenia $2cos^2\alpha -1$ jest równa

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg} \alpha =2$. Oblicz $\frac{\sin \alpha -\cos \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }$.

Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $\sin^{2} \alpha +\sin^{2} \alpha \cdot \cos^{2}\alpha + \cos^{4}\alpha$ jest równe

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin \alpha =\frac{1}{3}$. Wartość wyrażenia $1+\operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha$ jest równa

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}$. Oblicz wartość wyrażenia $2+\sin^3\!\alpha +\sin\alpha \cdot \cos^2\!\alpha$.

Jeżeli $\alpha$ jest kątem ostrym oraz $\operatorname{tg}{\alpha }=\frac{2}{5}$, to wartość wyrażenia $\frac{3\cos{\alpha }-2\sin{\alpha }}{\sin{\alpha }-5\cos{\alpha }}$ jest równa

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\frac{4}{\sin^2\!{\alpha }}+\frac{4}{\cos^2\!{\alpha }}=25$. Oblicz wartość wyrażenia $\sin{\alpha }\cdot \cos{\alpha }$.

Jeżeli kąt $\alpha$ jest ostry i $\operatorname{tg} \alpha =\frac{3}{4}$, to $\frac{2-\cos \alpha }{2+\cos \alpha }$ równa się

Jeżeli $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$ oraz $\operatorname{tg} \alpha =2\sin \alpha$, to

Kąt $\alpha$ jest ostry i spełnia równość $\operatorname{tg} \alpha +\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{7}{2}$. Oblicz wartość wyrażenia $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$.