Matura podstawowa - kurs - część 44 - zadania

Na odcinku $AB$ wybrano punkt $C$, a następnie zbudowano trójkąty równoboczne $ACD$ i $CBE$ tak, że wierzchołki $D$ i $E$ leżą po tej samej stronie prostej $AB$. Okręgi opisane na tych trójkątach przecinają się w punktach $C$ i $P$ (zobacz rysunek). Udowodnij, że miara kąta $APB$ jest równa $120^\circ$.

Punkty $A, B, C, D$ i $E$ leżą na okręgu o środku $S$ i dzielą ten okrąg na pięć łuków równej długości (zobacz rysunek). Wówczas miara kąta ostrego $\alpha$ między cięciwą $AB$ i styczną do tego okręgu w punkcie $A$ jest równa

Dane są dwa okręgi o promieniach $12$ i $17$. Mniejszy okrąg przechodzi przez środek większego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa

Oblicz kąt $\alpha$ między cięciwą $PQ$, a styczną do okręgu w punkcie $P$.

Dany jest prostokąt $ABCD$. Okręgi o średnicach $AB$ i $AD$ przecinają się w punktach $A$ i $P$ (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty $B, P$ i $D$ leżą na jednej prostej.

Dwa okręgi są styczne zewnętrznie. Odległość ich środków jest równa $8$ cm. Gdyby te okręgi były styczne wewnętrznie, to odległość ich środków byłaby równa $2$ cm. Oblicz długości promieni tych okręgów.

Na trójkącie równoramiennym $ABC$, w którym $\vert{AC}\vert=\vert{BC}\vert$ opisano okrąg o środku $O$. Prosta $k$ jest styczna do tego okręgu w punkcie $B$ i $\vert{\sphericalangle BOC}\vert=140^\circ$. Kąt $\alpha$ ma miarę

Dwa okręgi o promieniach $r$ i $R$ są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej w punktach $A$ i $B$ (zobacz rysunek). Oblicz wartość iloczynu $rR$, jeżeli wiadomo, że odcinek $AB$ ma długość $5$.