Matura podstawowa - kurs - część 55 - zadania

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $6$, a kąt nachylenia jego przekątnej do płaszczyzny podstawy jest równy $60^\circ$. Długość tej przekątnej jest równa

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ i wierzchołku $S$ trójkąt $ACS$ jest równoboczny i ma bok długości $8$. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDEFGH$ przekątna $AC$ podstawy ma długość $4$. Kąt $ACE$ jest równy $60^\circ$. Oblicz objętość ostrosłupa $ABCDE$ przedstawionego na poniższym rysunku.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość $5$ cm, a krawędź podstawy $\sqrt{8}$ cm. Wówczas cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy:

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość graniastosłupa jest o $4$ krótsza od przekątnej podstawy i o $8$ krótsza od przekątnej graniastosłupa. Oblicz sinus kąta pomiędzy przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy.

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDEFGH$ połączono punkty będące środkami krawędzi $BC$, $CD$, $AD$ i $GH$. Wyznacz objętość powstałej bryły wiedząc, że $\vert{DB}\vert=5\sqrt{2}$ i kąt $DBH$ ma miarę $60^\circ$.

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym $EFGHIJKL$ wierzchołki $E, G, L$ połączono odcinkami (tak jak na rysunku). Wskaż kąt między wysokością $OL$ trójkąta $EGL$ i płaszczyzną podstawy tego graniastosłupa.

Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $16$. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy $\frac{3}{5}$. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe $36$, a miara kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równa $30^\circ$. Wysokość tego graniastosłupa jest równa

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^\circ$. Odległość spodka wysokości ostrosłupa od krawędzi jest równa $4$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego $ABCS$ (tak jak na rysunku) jest równa $72$, a promień okręgu wpisanego w podstawę $ABC$ tego ostrosłupa jest równy $2$. Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Wysokość $SE$ ściany bocznej $ADS$ jest jednocześnie wysokością ostrosłupa, a punkt $E$ jest środkiem krawędzi $AD$ (zobacz rysunek). Pole ściany $ADS$ jest równe $12$ cm², a objętość ostrosłupa jest równa $48$ cm³. Oblicz miarę kąta nachylenia krawędzi bocznej $CS$ do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. Wynik zaokrąglij do $1^\circ$.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest romb $ABCD$ o boku długości $4$. Kąt $ABC$ rombu ma miarę $120^\circ$ oraz $|AS|=|CS|=10$ i $|BS|=|DS|$. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi $BS$ do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku $3 : 4$, a pole jest równe $192$ (zobacz rysunek). Punkt $E$ jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek $SE$ jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$. Oblicz objętość ostrosłupa.