Serwis matemaks wykorzystuje pliki cookies. Korzystając z serwisu matemaks.pl, zgadzasz się na użycie plików cookies. OK Więcej informacji
DrukarkaMoje kontoWyloguj
Główna
⇊
Szkoła
⇊
Matura
⇊
Studia
⇊
Programy
⇊
Inne
1.
⇊
Liczby i działania
1.
⇊
Rodzaje liczb
1.
Liczby naturalne
2.
Liczby całkowite
3.
Liczby wymierne
4.
Liczby niewymierne
5.
Liczby rzeczywiste
6.
Zestawienie informacji o podstawowych rodzajach liczb
7.
Liczby parzyste i nieparzyste
8.
Liczby przeciwne
9.
Liczby odwrotne
10.
Liczby pierwsze
11.
Liczby złożone
12.
Liczby doskonałe
13.
Liczby algebraiczne
14.
Liczby przestępne
2.
⇊
Procenty
1.
Zamiana ułamka na procent
2.
Zamiana procentu na ułamek
3.
Jakim procentem jednej liczby jest druga liczba
4.
Obliczanie procentu z danej liczby
5.
Obliczanie liczby mając dany jej procent
6.
Podwójna obniżka/podwyżka cen
7.
Procent składany - kapitalizacja odsetek
8.
Zadania z procentów
3.
⇊
Ułamki
1.
⇊
Ułamki zwykłe
1.
Ułamki zwykłe - wprowadzenie
2.
Miejsce ułamka na osi liczbowej
3.
Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy
4.
Dodawanie i odejmowanie ułamków o wspólnym mianowniku
5.
Rozszerzanie ułamków
6.
Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika
7.
Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych
8.
Mnożenie ułamków zwykłych
9.
Dzielenie ułamków zwykłych
10.
Skracanie ułamków zwykłych
2.
⇊
Ułamki dziesiętne
1.
Ułamki dziesiętne - wprowadzenie
2.
Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych
3.
Mnożenie ułamków dziesiętnych
4.
Dzielenie ułamków dziesiętnych
3.
Różne zadania z ułamków
4.
⇊
Potęgowanie i pierwiastkowanie
1.
Potęgowanie - wprowadzenie
2.
Mnożenie potęg o tej samej podstawie
3.
Dzielenie potęg o tej samej podstawie
4.
Mnożenie potęg o tym samym wykładniku
5.
Dzielenie potęg o tym samym wykładniku
6.
Podnoszenie potęgi do potęgi
7.
Potęga o wykładniku 0
8.
Potęga o wykładniku ujemnym
9.
Pierwiastkowanie
10.
Potęga o wykładniku wymiernym
11.
Zadania z potęgowania i pierwiastkowania
5.
Dzielenie pisemne liczb
6.
Rozkładanie liczby na czynniki pierwsze
7.
⇊
Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW)
1.
Algorytm wyznaczania NWW
2.
Program do obliczania NWW
8.
⇊
Największy wspólny dzielnik (NWD)
1.
Algorytm Euklidesa
9.
Usuwanie niewymierności z mianownika
10.
Zadania z różnych działań na liczbach rzeczywistych
11.
Liczba e
2.
⇊
Rachunek zbiorów
1.
Zaznaczanie zbiorów na osi liczbowej
2.
Suma zbiorów
3.
Różnica zbiorów
4.
Iloczyn zbiorów
3.
⇊
Wartość bezwzględna
1.
Wartość bezwzględna wyrażeń z x-em
2.
Wykres wartości bezwzględnej
3.
Film wprowadzający do pojęcia wartości bezwzględnej
4.
Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej
5.
Równania z wartością bezwzględną
6.
Nierówności z wartością bezwzględną
7.
Nierówności z więcej niż jedną wartością bezwzględną
4.
⇊
Logarytmy
1.
Logarytmy - najważniejsze wzory
2.
Obliczanie logarytmów
3.
Dodawanie i odejmowanie logarytmów
4.
Logarytm w wykładniku potęgi
5.
Równania logarytmiczne
6.
Różne zadania z logarytmów
5.
⇊
Wyrażenia algebraiczne
1.
Obliczanie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego
2.
Jednomiany
3.
Sumowanie wyrażeń algebraicznych
4.
Mnożenie wyrażeń algebraicznych
5.
⇊
Wzory skróconego mnożenia
1.
Kwadrat sumy
2.
Kwadrat różnicy
3.
Różnica kwadratów
4.
Różnica sześcianów
5.
Suma sześcianów
6.
Sześcian sumy
7.
Sześcian różnicy
8.
Zadania ze wzorów skróconego mnożenia
6.
Dwumian Newtona
7.
Różne zadania z wyrażeń algebraicznych
6.
⇊
Równania i nierówności
1.
⇊
Równania liniowe
1.
Zadania na rozwiązywanie równań
2.
Równania tożsamościowe
3.
Równania sprzeczne
4.
Równania w zadaniach z treścią
2.
Nierówności liniowe
3.
⇊
Układy równań
1.
Metoda podstawiania
2.
Metoda przeciwnych współczynników
3.
Metoda graficzna
4.
Metoda wyznaczników
5.
Układy oznaczone, nieoznaczone i sprzeczne
6.
Układy równań w zadaniach z treścią
7.
Różne zadania z układów równań
4.
⇊
Równania kwadratowe
1.
Proste równania kwadratowe
2.
Równania kwadratowe w postaci ogólnej
3.
Program do rozwiązywania równań kwadratowych
4.
Zadania z równań kwadratowych
5.
⇊
Nierówności kwadratowe
1.
Metoda rozwiązywania nierówności kwadratowych
2.
Zadania na rozwiązywanie nierówności kwadratowych
7.
⇊
Funkcje
1.
⇊
Funkcje - definicje i własności
1.
Definicja funkcji
2.
Sposoby prezentowania funkcji
3.
⇊
Wykres funkcji
1.
Jak rysować wykresy funkcji
2.
Zmienne niezależne i zmienne zależne
3.
Oś odciętych i oś rzędnych
4.
Zadania na rysowanie wykresów funkcji
4.
Dziedzina funkcji
5.
Wartości funkcji i odczytywanie ich z wykresu
6.
Własności funkcji
7.
Miejsca zerowe funkcji
8.
Monotoniczność funkcji
9.
Przesunięcia wykresów funkcji
10.
Różne zadania z funkcji
2.
⇊
Funkcja liniowa
1.
Wykres funkcji liniowej
2.
Miejsce zerowe funkcji liniowej
3.
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty
4.
Proste równoległe i prostopadłe
5.
Proste równoległe/prostopadłe przechodzące przez dany punkt
6.
Funkcja liniowa - zadania z parametrem
7.
Inne zadania z funkcji liniowej
3.
⇊
Funkcja kwadratowa
1.
Wykres funkcji kwadratowej
2.
⇊
Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej
1.
Postać ogólna funkcji kwadratowej
2.
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej
3.
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej
4.
Zamiana postaci ogólnej na postać kanoniczną i iloczynową
5.
Zamiana postaci kanonicznej na postać ogólną i iloczynową
6.
Zamiana postaci iloczynowej na postać ogólną i kanoniczną
3.
Oś symetrii paraboli
4.
Różne zadania z funkcji kwadratowej
4.
⇊
Funkcja wymierna
1.
⇊
Proporcjonalność odwrotna
1.
Wykres proporcjonalności odwrotnej
2.
Definicja funkcji wymiernej
3.
Dziedzina funkcji wymiernej
5.
⇊
Funkcja logarytmiczna
1.
Różne zadania z funkcji logarytmicznej
6.
⇊
Funkcja wykładnicza
1.
Różne zadania z funkcji wykładniczej
8.
⇊
Wielomiany
1.
Obliczanie wartości wielomianu
2.
Stopień wielomianu
3.
⇊
Rozkład wielomianu na czynniki
1.
Podstawowe sposoby rozkładu wielomianu na czynniki
2.
Rozkładanie wielomianu na czynniki - zadania
4.
Dodawanie i odejmowanie wielomianów
5.
Dzielenie wielomianów
6.
Równość wielomianów
7.
⇊
Równania wielomianowe
1.
Metoda rozwiązywania równań wielomianowych
2.
Równania wielomianowe - zadania
8.
Krotność pierwiastka wielomianu
9.
Twierdzenie Bézouta
10.
Wymierne pierwiastki wielomianu o współczynnikach całkowitych
11.
Schemat Hornera
12.
⇊
Wykres wielomianu
1.
Metoda rysowania wykresu wielomianu
2.
Wykresy wielomianów - przykłady
13.
⇊
Nierówności wielomianowe
1.
Metoda rozwiązywania nierówności wielomianowych
2.
Nierówności wielomianowe - przykłady
14.
Różne zadania z wielomianów
9.
⇊
Wyrażenia wymierne
1.
Dziedzina wyrażenia wymiernego
2.
Skracanie wyrażeń wymiernych
3.
Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych
4.
Równania wymierne
5.
Różne zadania z wyrażeń wymiernych
10.
⇊
Ciągi liczbowe
1.
Wzór ogólny ciągu
2.
Monotoniczność ciągu
3.
⇊
Ciąg arytmetyczny
1.
Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego
2.
Suma ciągu arytmetycznego
3.
Zbiór zadań z ciągu arytmetycznego
4.
Różne zadania z ciągu arytmetycznego
4.
⇊
Ciąg geometryczny
1.
Wzór na n-ty wyraz ciągu ciągu geometrycznego
2.
Suma ciągu geometrycznego
3.
Zbiór zadań z ciągu geometrycznego
4.
Różne zadania z ciągu geometrycznego
5.
Granica ciągu liczbowego
6.
Różne zadania z ciągów
11.
⇊
Logika
1.
Zdania logiczne
2.
Koniunkcja
3.
Alternatywa
4.
Implikacja
5.
Równoważność
6.
Negacja
7.
Warunek konieczny i warunek wystarczający
8.
⇊
Prawa rachunku zdań
1.
Metoda zero-jedynkowa dowodzenia tautologii
2.
Prawo wyłączonego środka
3.
Prawo sprzeczności
4.
Prawo podwójnej negacji
5.
I prawo de Morgana
6.
II prawo de Morgana
7.
Prawo odrywania
8.
Prawo negacji implikacji
9.
Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy
10.
Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji
9.
Kwantyfikatory
12.
⇊
Trygonometria
1.
⇊
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
1.
Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego - metoda graficzna zapamiętania
2.
Zależności między funkcjami trygonometrycznymi kątów ostrych w trójkącie prostokątnym
3.
Trójkąt prostokątny 30° 60° 90°
4.
Trójkąt prostokątny 45° 45° 90°
5.
Jedynka trygonometryczna oraz wzory na tangens i cotangens
6.
Praktyczne zastosowania podstaw trygonometrii
7.
Tablice wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych
2.
Pojęcie miary kąta i jego uogólnienie
3.
⇊
Miara łukowa kąta
1.
Miara łukowa kąta - definicja i przykłady
2.
Zamiana stopni na radiany
3.
Zamiana radianów na stopnie
4.
⇊
Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
1.
Obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów od 0° do 360°
2.
Wykres funkcji sinus
3.
Wykresy funkcji trygonometrycznych - zestawienie
5.
Wzory trygonometryczne
6.
Różne zadania z trygonometrii
13.
⇊
Geometria analityczna
1.
Długość odcinka w układzie współrzędnych
2.
Środek odcinka
3.
Równanie okręgu
4.
Różne zadania z geometrii analitycznej
14.
⇊
Geometria płaska
1.
⇊
Trójkąty
1.
Wzory na pole trójkąta
2.
Suma kątów wewnętrznych trójkąta
3.
⇊
Trójkąt prostokątny
1.
Twierdzenie Pitagorasa
2.
Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym
3.
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny
4.
Trójkąt równoboczny
5.
Okrąg wpisany w trójkąt
6.
Okrąg opisany na trójkącie
7.
Twierdzenie sinusów
8.
Twierdzenie cosinusów
9.
Różne zadania z trójkątów
10.
Podobieństwo trójkątów
2.
⇊
Czworokąty
1.
Kwadrat
2.
Równoległobok
3.
Romb
4.
Trapez
5.
Deltoid
6.
Dowolny czworokąt
7.
Czworokąt wpisany w okrąg
3.
⇊
Okrąg i koło
1.
Kąty środkowe i wpisane w okręgu
2.
Różne zadania z okręgu i koła
4.
Różne zadania z geometrii
15.
⇊
Geometria przestrzenna
1.
⇊
Graniastosłupy
1.
Prostopadłościan
2.
Sześcian
3.
Różne zadania z graniastosłupów
2.
⇊
Ostrosłupy
1.
Ostrosłup dowolny - wzory
2.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
3.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
4.
Czworościan foremny
5.
Różne zadania z ostrosłupów
3.
⇊
Bryły obrotowe
1.
Walec
2.
Stożek
3.
Kula
16.
⇊
Kombinatoryka
1.
Reguła mnożenia
2.
⇊
Silnia
1.
Program do liczenia silni
2.
Zadania z silni
3.
Kombinacja
4.
Permutacja
5.
Wariacja z powtórzeniami
6.
Wariacja bez powtórzeń
7.
Różne zadania z kombinatoryki
17.
⇊
Rachunek prawdopodobieństwa
1.
Wzory i własności w rachunku prawdopodobieństwa
2.
Zadania z klasycznego rachunku prawdopodobieństwa
3.
Własności rachunku prawdopodobieństwa
4.
Prawdopodobieństwo warunkowe
5.
Prawdopodobieństwo całkowite
18.
⇊
Statystyka
1.
Średnia arytmetyczna
2.
Błąd bezwzględny i względny pomiaru
3.
Średnia ważona
4.
Odchylenie
5.
Wariancja
6.
Odchylenie standardowe
7.
Mediana
8.
Moda
9.
Różne zadania ze statystyki
19.
⇊
Elementy analizy matematycznej
1.
Granica funkcji w punkcie
2.
Granice jednostronne funkcji
3.
Granica funkcji w nieskończoności
4.
Styczna do wykresu funkcji
5.
Badanie monotoniczności funkcji za pomocą pochodnej
6.
Ekstrema lokalne funkcji
7.
Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale
8.
Badanie przebiegu zmienności funkcji
9.
Zadania optymalizacyjne
1.
KURS - matura podstawowa 2017/2018
2.
KURS - matura rozszerzona 2017/2018
3.
Matura podstawowa - zadania CKE
4.
Matura rozszerzona - zadania CKE
5.
Matura - najważniejsza wiedza
6.
Matura - najważniejsze wzory spoza tablic
7.
Pewniaki maturalne
8.
⇊
Arkusze 2017
1.
Matura 2017 listopad
2.
Matura 2017 listopad PR
3.
Matura 2017 sierpień
4.
Matura 2017 czerwiec
5.
Matura 2017 maj PR
6.
Matura 2017 maj
9.
⇊
Arkusze 2016
1.
Matura 2016 sierpień
2.
Matura 2016 maj PR
3.
Matura 2016 maj - stara formuła
4.
Matura 2016 maj
5.
Matura 2016 czerwiec
10.
⇊
Arkusze 2015
1.
Matura 2015 sierpień - technikum
2.
Matura 2015 sierpień
3.
Matura 2015 maj PR
4.
Matura 2015 maj - technikum
5.
Matura 2015 maj
6.
Matura 2015 kwiecień PR
7.
Matura 2015 kwiecień
8.
Arkusz 2015 - CKE
11.
⇊
Arkusze 2014
1.
Matura 2014 grudzień PR
2.
Matura 2014 grudzień
3.
Matura 2014 sierpień
4.
Matura 2014 maj PR
5.
Matura 2014 maj
6.
Matura 2014 luty
7.
Matura 2014 styczeń
12.
⇊
Arkusze 2013
1.
Matura 2013 listopad PR
2.
Matura 2013 listopad
3.
Matura 2013 sierpień
4.
Matura 2013 czerwiec
5.
Matura 2013 maj PR
6.
Matura 2013 maj
7.
Matura 2013 marzec
8.
Matura 2013 luty
9.
Matura 2013 styczeń
13.
⇊
Arkusze 2012
1.
Matura 2012 listopad
2.
Matura 2012 sierpień
3.
Matura 2012 maj PR
4.
Matura 2012 maj
5.
Matura 2012 czerwiec
6.
Matura 2012 marzec 9
7.
Matura 2012 marzec 7
14.
⇊
Arkusze 2011
1.
Matura 2011 listopad
2.
Matura 2011 sierpień
3.
Matura 2011 maj
15.
⇊
Arkusze 2010
1.
Matura 2010 maj
2.
Matura 2010 listopad
16.
⇊
Matura - dodatkowe materiały
1.
Powtórka do matury
2.
⇊
Kurs zadaniowy do starej matury
1.
Matura podstawowa z matematyki - kurs - podstawowe działania na liczbach
2.
Matura podstawowa z matematyki - kurs - logarytmy
3.
Matura podstawowa z matematyki - kurs - równania
4.
Matura podstawowa z matematyki - kurs - nierówności
5.
Matura podstawowa z matematyki - kurs - funkcje
6.
Matura podstawowa z matematyki - kurs - funkcja liniowa
7.
Matura podstawowa z matematyki - kurs - funkcja kwadratowa
8.
Matura podstawowa z matematyki - kurs - ciągi
9.
Matura podstawowa z matematyki - kurs - trygonometria
10.
Matura podstawowa z matematyki - kurs - geometria płaska
11.
Matura podstawowa z matematyki - kurs - geometria analityczna
12.
Matura podstawowa z matematyki - kurs - geometria przestrzenna
13.
Matura podstawowa z matematyki - kurs - kombinatoryka i prawdopodobieństwo
14.
Matura podstawowa z matematyki - kurs - statystyka
15.
Matura podstawowa - kurs - liczby rzeczywiste
3.
Zadania maturalne CKE
4.
Rozszerzenie - zadania CKE
5.
Zadania tekstowe (5 pkt)
6.
Zadania dowodowe
7.
Poziom rozszerzony
17.
⇊
Inne arkusze
1.
Arkusz maturalny 1
2.
Arkusz maturalny 2
3.
Arkusz maturalny 3
4.
Arkusz maturalny 4
5.
Zestaw treningowy 1
6.
Zestaw treningowy 2
7.
Zestaw treningowy 3
8.
Zestaw treningowy 4
18.
Stara matura
1.
⇊
Liczby zespolone
1.
Definicja liczby zespolonej
2.
Proste działania na liczbach zespolonych
3.
Liczby sprzężone
4.
Moduł liczby zespolonej
5.
Interpretacja geometryczna liczby zespolonej
6.
Wzór de Moivre'a - potęgowanie liczb zespolonych
7.
Pierwiastkowanie liczb zespolonych
2.
⇊
Macierze
1.
Formalna definicja macierzy
2.
Operacje elementarne na macierzach
3.
Sprowadzanie macierzy do postaci schodkowej zredukowanej
4.
Transponowanie macierzy
5.
Mnożenie macierzy
3.
⇊
Granica ciągu
1.
Obliczanie granic - przykłady
2.
Twierdzenie o granicy iloczynu ciągu zbieżnego do zera oraz ciągu ograniczonego
3.
Twierdzenie o trzech ciągach
4.
Granice ciągów z silnią
5.
Granice ciągów z liczbą e
6.
Twierdzenie Stolza
4.
⇊
Granica funkcji
1.
Otoczenie punktu i punkt skupienia
2.
Sąsiedztwo punktu
3.
Granica funkcji w punkcie II
4.
Ważniejsze granice funkcji
5.
Reguła de l'Hospitala
6.
Zadania na obliczanie granicy funkcji
5.
⇊
Pochodne
1.
Wzory pochodnych wybranych funkcji
2.
Reguły obliczania pochodnych
3.
Pochodna sumy funkcji
4.
Pochodna iloczynu funkcji
5.
Pochodna ilorazu funkcji
6.
Pochodna złożenia funkcji
7.
Pochodne prostych funkcji
8.
Pochodne funkcji trygonometrycznych
9.
Pochodne funkcji złożonych
6.
⇊
Szeregi liczbowe
1.
Szereg harmoniczny
2.
Kryterium porównawcze
3.
Kryterium Cauchy'ego
4.
Kryterium d'Alemberta
5.
Sposoby na obliczanie sumy szeregu
7.
⇊
Całki
1.
Wzory całkowe wybranych funkcji
2.
Przykłady całek elementarnych
3.
Całkowanie przez podstawianie
4.
Całkowanie przez części
5.
Różne całki - zadania
8.
⇊
Badanie przebiegu zmienności funkcji II
1.
Badanie przebiegu zmienności funkcji - przykład 1
9.
⇊
Funkcje wielu zmiennych
1.
⇊
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
1.
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych - przykład 1
2.
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych - przykład 2
3.
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych - przykład 3
1.
Kalkulator
2.
Program do rysowania wykresów funkcji
3.
Program do dzielenia pisemnego liczb
1.
Metody nauki
2.
⇊
Rozrywka
1.
Zagadki
2.
Złudzenia optyczne
3.
Fraktale
4.
Sztuka anamorficzna
3.
O mnie
4.
Facebook
5.
Kontakt
6.
Dotacje
7.
Regulamin

Matura rozszerzona - kurs - część 22 - zadania

Zadanie 1. (1 pkt)
Ciąg geometryczny an spełnia następujące równanie rekurencyjne: a1=7, an+2=16an+1+13an dla n∈{1,2,3,...}. Wyznacz sumę wszystkich wyrazów ciągu (an).
Rozwiązanie wideo
Obejrzyj na YoutubieStrona z zadaniem
Odpowiedź: \(21\)