Matura rozszerzona - kurs - część 24 - zadania

Pierwszy wyraz $a_1$ nieskończonego ciągu geometrycznego $(a_n)$ jest równy $\sqrt{2}$, natomiast suma pierwszych trzech jego wyrazów jest równa $\frac{7}{4}\sqrt{2}$. Szereg nieskończony $a_1+a_2+a_3+...$ jest zbieżny. Oblicz jego sumę.

Dany jest nieskończony ciąg sześcianów. Krawędź pierwszego z nich jest równa $x_1$. Krawędź drugiego z tych sześcianów ma długość $x_2$ równą różnicy długości przekątnej pierwszego sześcianu i przekątnej ściany pierwszego sześcianu. Analogicznie trzeci sześcian ma krawędź $x_3$ o długości równej różnicy długości przekątnej drugiego sześcianu i przekątnej ściany drugiego sześcianu, itd. Oblicz sumę $x_1+x_2+x_3+...$.

Dany jest ciąg geometryczny $(a_n)$ określony wzorem $a_n=\left(\frac{1}{2x-371}\right )^n$ dla $n\ge 1$. Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą $x$, dla której nieskończony szereg $a_1+a_2+a_3+...$ jest zbieżny.