Matura rozszerzona - kurs - część 30 - zadania
Zadanie 1. (4 pkt)
Rozwiąż równanie cos2x+cosx+1=0 dla x∈⟨0,2π⟩.
Odpowiedź: \(x=\frac{\pi }{2}\) lub \(x=\frac{3\pi }{2}\) lub \(x=\frac{2\pi }{3}\) lub \(x=\frac{4\pi }{3}\)
Poziom rozszerzony
Zadanie 2. (5 pkt)
Rozwiąż równanie sinx|cosx|=0,25, gdzie x∈⟨0;2π⟩.
Odpowiedź: \(x=\frac{\pi }{12}\) lub \(x=\frac{5\pi }{12}\) lub \(x=\frac{7\pi }{12}\) lub \(x=\frac{11\pi }{12}\)
Poziom rozszerzony
Zadanie 3. (4 pkt)
Rozwiąż równanie 3–√⋅cosx=1+sinx w przedziale ⟨0,2π⟩ .
Odpowiedź: \(x=\frac{3\pi }{2}\) lub \(x=\frac{\pi }{6}\)
Poziom rozszerzony
Zadanie 4. (1 pkt)
Równanie
2sinx+3cosx=6 w przedziale
(0,2π) A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Odpowiedź: A
Zadanie 5. (1 pkt)
Wyznacz najmniejszą dodatnią liczbę x spełniającą warunki: sinx+sin3x=0 oraz cos12x<12.
Odpowiedź: \(x=\pi \)
Zadanie 6. (1 pkt)
Rozwiąż równanie sin2x+2sinx+cosx+1=0, dla x∈⟨−π,π⟩.
Odpowiedź: \(-\frac{5\pi }{6}\), \(-\frac{\pi }{6}\), \(-\pi \), \(\pi \)
Zadanie 7. (1 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru α∈⟨0;2π⟩, dla których równanie (x2−sin2α)(x−1)=0 ma trzy rozwiązania.
Odpowiedź: \(\alpha \in (0;\frac{\pi }{4})\cup (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})\cup (\pi ;\frac{5\pi }{4})\cup (\frac{5\pi }{4};\frac{3\pi }{2})\)
Zadanie 8. (1 pkt)
Rozwiąż nierówność cos2x<cosx.
Odpowiedź: \(x\in \left(-\frac{2}{3}\pi +2k\pi,\frac{2}{3}\pi +2k\pi \right)\)
Zadanie 9. (1 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których równanie (cosx+a)⋅(sin2x−a)=0 ma w przedziale ⟨0,2π⟩ dokładnie trzy różne rozwiązania.
Odpowiedź: \(a=1\)
Zadanie 10. (4 pkt)
Rozwiąż nierówność 2cosx−3–√cos2x<0 w przedziale ⟨0,2π⟩.
Odpowiedź: \(x\in \left ( \frac{\pi }{6}; \frac{\pi }{2}\right )\cup \left ( \frac{\pi }{2}; \frac{3\pi }{2}\right )\cup \left ( \frac{3\pi }{2}; \frac{11\pi }{6}\right )\)