Matura rozszerzona - kurs - część 31 - zadania

Rysunek przedstawia trapez równoramienny $ABCD$ opisany na okręgu o środku $S$ i promieniu $r=\frac{\sqrt{91}}{2}$. Dolna podstawa trapezu jest o $6$ dłuższa od górnej podstawy. Oblicz obwód trapezu $ABCD$.

W trapez prostokątny $ABCD$ wpisano okrąg o środku $O$, który w punkcie $P$ jest styczny do dłuższego ramienia $BC$ tego trapezu (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli $|BP|=p$ i $|CP|=q$, to obwód trapezu jest równy $2(\sqrt{p}+\sqrt{q})^2$.

Okrąg $o_1$ jest opisany na czworokącie $ABCD$, natomiast $o_2$ jest opisany na czworokącie $AFEC$ (zobacz rysunek). Punkty $A$, $B$, $E$ są współliniowe i zachodzi równość $|\sphericalangle BFE|=|\sphericalangle CDB|$. Udowodnij, że punkty $F$, $B$, $C$ są współliniowe.

Wartość wyrażenia $\sin (2\alpha -\beta )$ jest równa

Dwusieczne czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: $P$, $Q$, $R$, $S$ (zobacz rysunek). Wykaż, że na czworokącie $PQRS$ można opisać okrąg.

Dany jest prostokąt $ABCD$. Okrąg wpisany w trójkąt $BCD$ jest styczny do przekątnej $BD$ w punkcie $N$. Okrąg wpisany w trójkąt $ABD$ jest styczny do boku $AD$ w punkcie $M$, a środek $S$ tego okręgu leży na odcinku $MN$, jak na rysunku. Wykaż, że $|MN|=|AD|$.