Matura rozszerzona - kurs - część 32 - zadania

Dany jest trójkąt $ABC$ o polu równym $P$. Odcinki $IJ$ i $GH$, których końce leżą na bokach trójkąta, są równoległe do boku $AB$ i przecinają wysokość $CD$ w punktach $E$ i $F$ takich, że $|CE|=|DF|=\frac{1}{4}\cdot |CD|$ (zobacz rysunek). Pole trapezu $GHJI$ jest równe

Z wierzchołków kwadratu poprowadzono do odpowiednich boków proste pod takim samym kątem $\alpha$, mniejszym od $45^\circ$, (zobacz rysunek). Proste te wyznaczają w szczególności trójkąt (zacieniowany) o polu $9$ i czworokąt (zacieniowany) o polu $7$. Wyznacz pole kwadratu.

Na podstawie AB trapezu $ABCD$ ($|AB|\gt |CD|$) wyznaczono taki punkt $E$, że czworokąt $AECD$ jest równoległobokiem. Przekątna $BD$ przecina odcinki $CA$ i $CE$ odpowiednio w punktach $F$ i $G$. Odcinki $DG$ i $BF$ są równej długości. Uzasadnij, że $\frac{|AB|}{|CD|}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Dany jest prostokąt $ABCD$. Okrąg wpisany w trójkąt $BCD$ jest styczny do przekątnej $BD$ w punkcie $N$. Okrąg wpisany w trójkąt $ABD$ jest styczny do boku $AD$ w punkcie $M$, a środek $S$ tego okręgu leży na odcinku $MN$, jak na rysunku. Wykaż, że $|MN|=|AD|$.