Matura rozszerzona - kurs - część 34 - zadania

W trójkąt równoramienny $ABC$ wpisano kwadrat w taki sposób, że bok $DE$ kwadratu zawiera się w podstawie $AB$ trójkąta, a wierzchołki $F$ i $G$ kwadratu leżą odpowiednio na ramionach $BC$ i $AC$ trójkąta (zobacz rysunek). Pole trójkąta $CFG$ jest równe sumie pól trójkątów $ADG$ i $BEF$. Oblicz sinus kąta ostrego, pod jakim przecinają się odcinki $DF$ i $BG$.

Dany jest trójkąt $ABC$ o polu równym $P$. Odcinki $IJ$ i $GH$, których końce leżą na bokach trójkąta, są równoległe do boku $AB$ i przecinają wysokość $CD$ w punktach $E$ i $F$ takich, że $|CE|=|DF|=\frac{1}{4}\cdot |CD|$ (zobacz rysunek). Pole trapezu $GHJI$ jest równe

Na podstawie AB trapezu $ABCD$ ($|AB|\gt |CD|$) wyznaczono taki punkt $E$, że czworokąt $AECD$ jest równoległobokiem. Przekątna $BD$ przecina odcinki $CA$ i $CE$ odpowiednio w punktach $F$ i $G$. Odcinki $DG$ i $BF$ są równej długości. Uzasadnij, że $\frac{|AB|}{|CD|}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.