Matura rozszerzona - kurs - część 35 - zadania

Czworokąt $ABCD$ wpisany w okrąg $S$ spełnia następujące warunki: $|BD|=|DC|$, $|AB|=4$, $|AC|=6$, $|AD|=5$. Oblicz długość promienia okręgu $S$.

Na boku $AB$ trójkąta $ABC$ obrano punkty $D$ i $E$ takie, że $|AD|=|EB|=\frac{1}{4}|AB|$ (zobacz rysunek). Udowodnij, że $|AC|^2+2|CE|^2=|BC|^2+2|CD|^2$.

W trójkącie $ABC$ są dane $|AB|=8$, $|BC|=6$ oraz $\sin \sphericalangle ABC=\frac{\sqrt{5}}{3}$. Oblicz stosunek promienia okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ do promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Długości boków czworokąta $ABCD$ są równe: $|AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5$. Na czworokącie $ABCD$ opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej $AC$ tego czworokąta.