Matura rozszerzona - kurs - część 41 - zadania

Narysuj w układzie współrzędnych następujące zbiory: $(x+1)^2+(y+1)^2\le 25$ oraz $y\ge \frac{1}{7}x+2\frac{5}{7}$ i oblicz pole figury $F$, która jest częścią wspólną narysowanych zbiorów.

Okręgi $o_1$ i $o_2$ są dane, odpowiednio, równaniami $x^2+y^2=1$ oraz $(x-6)^2+(y-3)^2=5$. Środki tych okręgów połączono odcinkiem, który przecina okrąg $o_1$ w punkcie $A$ oraz okrąg $o_2$ w punkcie $B$. Wyznacz współrzędne środka odcinka $AB$.

Dany jest okrąg o równaniu $(x-5)^2+(y-3)^2=9$. Wyznacz równania stycznych do danego okręgu przechodzących przez początek układu współrzędnych.

Dany jest okrąg $O_1$ o równaniu $(x-3)^2+y^2=36$ oraz okrąg $O_2$ o równaniu $x^2+(y-m)^2=m^2$. Dla jakich wartości parametru $m$ okręgi $O_1$ i $O_2$ mają dokładnie jeden punkt wspólny? Dla znalezionych wartości parametru $m$ wyznacz równanie prostej przechodzącej przez środki tych okręgów.

Dany jest punkt $A=(0,0)$. Punkt $B$, różny od punktu $A$, należy do okręgu o równaniu $(x-2)^2+y^2=4$. Wykaż, że środek odcinka $AB$ należy do okręgu o równaniu $(x-1)^2+y^2=1$.

Prosta o równaniu $y = x + 2$ przecina okrąg o równaniu $(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 25$ w punktach $A$ i $B$. Oblicz współrzędne punktów $A$ i $B$ oraz wyznacz równanie stycznej do danego okręgu przechodzącej przez jeden z tych punktów.

Na rysunku jest przedstawiony trójkąt prostokątny $ABC$, którego wierzchołkami są punkty $A=(0,0)$, $B=(4,0)$ i $C=(4,4)$ oraz okrąg o środku $C$, który dzieli trójkąt na dwie figury o równych polach. Wyznacz równanie tego okręgu.

Wykaż, że jeśli prosta o równaniu $y=kx+l$ jest styczna do okręgu o równaniu $(x-k)^2+(y-l)^2=m^2$, gdzie $k,l\in \mathbb{R}$ oraz $m\gt 0$, to $\frac{k^4}{k^2+1}=m^2$.

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych $x$ i $y$ takich, że $x^2+y^2=2$, prawdziwa jest nierówność $x+y\le 2$.