Matura rozszerzona - kurs - część 45 - zadania

Podstawą ostrosłupa $ABCDS$ jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $SD$ jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi $ABS$ i $CBS$ tego ostrosłupa.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie $20$. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego $ABCDEF$ (zobacz rysunek obok) jest równa $6$. Punkt $K$ dzieli krawędź boczną $CF$ w stosunku $2:3$. Pole przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy $AB$ i punkt $K$ jest równe $15\sqrt{3}$. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny o krawędzi podstawy równej $4$. Graniastosłup przecięto płaszczyzną jak na rysunku. Otrzymano w ten sposób przekrój o polu równym $48\sqrt{2}$. Oblicz objętość danego graniastosłupa.

Dany jest ostrosłup trójkątny $ABCS$, w którym krawędź boczna $AS$ jest jednocześnie wysokością ostrosłupa, a kąt między każdymi dwiema krawędziami bocznymi jest równy $60^\circ$. Przez punkt $D$ leżący na krawędzi $AS$ poprowadzono płaszczyznę równoległą do płaszczyzny podstawy $ABC$. Płaszczyzna ta przecięła krawędzie boczne $BS$ i $CS$ w punktach $E$ i $F$ (zobacz rysunek). Pole trójkąta $ABC$ jest równe $P_1$, a pole trójkąta $DEF$ jest równe $P_2$. Oblicz odległość między płaszczyznami $ABC$ i $DEF$.

Punkt $S$ jest wierzchołkiem ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, a punkty $E$, $F$ są odpowiednio środkami krawędzi $AB$ i $CD$ jego podstawy. Krawędź podstawy i wysokość tego ostrosłupa mają taką samą długość równą $1$. Płaszczyzna przechodząca przez punkty $E$ i $F$ przecina krawędzie boczne odpowiednio w punktach $G$ oraz $H$ (zobacz rysunek). Oblicz pole otrzymanego przekroju, wiedząc, że jest ono dwa razy większe od pola czworokąta $BCGH$.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ o podstawie $ABCD$ wysokość jest równa $5$, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę $120^\circ$. Oblicz objętość tego ostrosłupa.