Idź do:
Matura rozszerzona - kurs - część 54 - zadania
Zadanie 1. (7 pkt)
Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20 . Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.
Odpowiedź: \(V=\frac{32\pi \sqrt{5}}{3}\)
Zadanie 2. (1 pkt)
Rozważmy wszystkie ostrosłupy prawidłowe sześciokątne, w których suma długości krótszej przekątnej podstawy i wysokości ostrosłupa jest równa 9 . Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.
Odpowiedź: \(V_{max}(2\sqrt{3})=18\sqrt{3}\)
Zadanie 3. (7 pkt)
Parabola o równaniu y=2−12x2 przecina oś Ox układu współrzędnych w punktach A=(−2,0) i B=(2,0) . Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne ABCD , których dłuższą podstawą jest odcinek AB , a końce C i D krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek). Wyznacz pole trapezu ABCD w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka C . Oblicz współrzędne wierzchołka C tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe. 
Odpowiedź: \(P(x)=4-x^2+2x-\frac{1}{2}x^3\)
\(C=\left (\frac{2}{3}, \frac{16}{9} \right )\)
\(C=\left (\frac{2}{3}, \frac{16}{9} \right )\)
Zadanie 4. (1 pkt)
Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych trójkątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 12 , jest taki, który ma największą objętość. Oblicz długości krawędzi tego graniastosłupa i jego objętość.
Odpowiedź: \(\frac{16\sqrt{3}}{27}\)