Matura rozszerzona - kurs - część 9 - zadania

Dane jest równanie kwadratowe $x^2+kx+2k-3=0$, gdzie $k\in \mathbb{R}$. Dla jakich wartości parametru $k$ to równanie ma dwa różne pierwiastki ujemne?

Równanie kwadratowe $5x^2+4x-3=0$ ma dwa rozwiązania rzeczywiste: $x_1$ oraz $x_2$. Wartość wyrażenia $\frac{x_1x_2}{x_1+x_2}$ jest równa

Równanie kwadratowe $ax^2+bx+c=0$, gdzie $c\ne 0$, ma dwa różne pierwiastki, których suma jest równa ich podwojonemu iloczynowi. Wynika stąd, że

Dany jest trójmian kwadratowy $f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1$. Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru $m$, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki $x_1$, $x_2$ tego samego znaku, spełniające warunek $|x_1-x_2|\lt 3$.

Oblicz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2 - (m + 2)x + m + 4 = 0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste $x_1$, $x_2$ takie, że ${x_1}^4 + {x_2}^4 = 4m^3 + 6m^2 - 32m + 12$.

Wykaż, że dla dowolnej wartości parametru $m$ równanie: $-x^2+(2m^2+3)x-m^4-1=0$ ma dwa różne pierwiastki dodatnie.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $x^2 + 2(1 - m)x + m^2 - m = 0$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_1$, $x_2$ spełniające warunek $x_1 \cdot x_2 \le 6m \le x_1^2 + x_2^2$ .